ಅಭ್ಯಾಸ 3.1
1.ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ.
ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳ ಆಧಾರದಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ.
(a) ಸರಳ ವಕ್ರರೇಖೆ. (b) ಸರಳ ಆವೃತ ವಕ್ರರೇಖೆ (c) ಬಹುಭುಜ
(d) ಬಹಿರ್ವಕ್ರ ಬಹುಭುಜ (e) ಅಂತರ್ವಕ್ರ ಬಹುಭುಜ
ಪರಿಹಾರ:-(a) ಸರಳ ವಕ್ರರೇಖೆ.
(b) ಸರಳ ಆವೃತ ವಕ್ರರೇಖೆ
(c) ಬಹುಭುಜ
(d) ಬಹಿರ್ವಕ್ರ ಬಹುಭುಜ
(e) ಅಂತರ್ವಕ್ರ ಬಹುಭುಜ
- ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜ ಎಂದರೇನು? ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಯಮಿತ
ಬಹುಭುಜಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ
(a) 3 ಬಾಹುಗಳು (b) 4 ಬಾಹುಗಳು (c) 6 ಬಾಹುಗಳು.
ಪರಿಹಾರ:-ಸಮಬಾಹು ಮತ್ತು ಸಮಕೋನೀಯವಾಗಿರುವ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜ ಎನ್ನುವರು.
(a) 3 ಬಾಹುಗಳು- ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ
(b) 4 ಬಾಹುಗಳು- ಚೌಕ (ವರ್ಗ)
(c) 6 ಬಾಹುಗಳು-.ನಿಯಮಿತ ಷಡ್ಗುಜ
ಅಭ್ಯಾಸ 3.2
- ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ x ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:-
(b)ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಒಳ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ=(n – 2) x 180೦
=(5 – 2) x 180೦
=3x 180೦=5400
- ಈ ಕೆಳಗೆ ತಿಳಿಸಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಹೊರಕೋನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
(i) 9 ಬಾಹುಗಳು (ii) 15 ಬಾಹುಗಳು.
ಪರಿಹಾರ:-(i) 9 ಬಾಹುಗಳು
(ii) 15 ಬಾಹುಗಳು.
3. ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜದ ಪ್ರತಿ ಹೊರಕೋನದ ಅಳತೆ 240 ಇದ್ದಾಗ ಅದು ಹೊಂದಿರುವ ಬಾಹುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:-
4. ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜದ ಪ್ರತಿ ಒಳಕೋನದ ಅಳತೆ 1650 ಇದ್ದಾಗ ಅದು ಹೊಂದಿರುವ ಬಾಹುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
ಪರಿಹಾರ:-
5. ಪ್ರತಿ ಹೊರಕೋನದ ಅಳತೆ 220 ಇರುವಂತೆ ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಒಳಕೋನದ ಅಳತೆಯಾಗಿರುವ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಏಕೆ?
ಪರಿಹಾರ:-ಪ್ರತಿ ಹೊರಕೋನದ ಅಳತೆ 220 ಇರುವಂತೆ ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ 22 ರಿಂದ 360 ಭಾಗವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಇದು ಒಳಕೋನದ ಅಳತೆಯಾಗಿರುವ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ 180- 22=158 ರಿಂದಲೂ 360 ಭಾಗವಾಗುವುದಿಲ್ಲ
- (a) ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜವು ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಕನಿಷ್ಟ ಒಳಕೋನದ ಅಳತೆ ಎಷ್ಟು? ಏಕೆ?
(b) ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜವು ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಟ ಹೊರಕೋನದ ಅಳತೆ ಎಷ್ಟು?
ಪರಿಹಾರ:-(a) ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜವು ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಕನಿಷ್ಟ ಒಳಕೋನದ ಅಳತೆ 600 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಟ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದರೆ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ. ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜದ ಒಳಕೋನ 600. ಇದೇ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಳಕೋನದ ಅಳತೆ.
(b) ಲೆಕ್ಕದಂತೆ ನಾವು ಹೇಳಬೇಕಾದರೆ ಗರಿಷ್ಠ ಹೊರಕೋನವು 1800 – 600 = 1200 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೊರಕೋನ ಮತ್ತು ಒಳಕೋನದ ಮೊತ್ತ ಸರಳಕೋನ ಪೂರಕವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಂದರೆ ಹೊರಕೋನ + ಒಳಕೋನ = 180°
ಅಭ್ಯಾಸ 3.3
ಪರಿಹಾರ:-
2.ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಲ್ಲಿ, ಅವ್ಯಕ್ತಪದಗಳಾದ x, y, z ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು
ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:-
ಪರಿಹಾರ:-(i) ∠D + ∠B = 180°
ABCD ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾದರೂ ಆಗಬಹುದು. ಆದರೆ ಆಗಲೇ ಬೇಕೆಂದೇನಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಚೌಕ ಅಥವಾ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಆಯತಗಳ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದು ವಜ್ರಾಕೃತಿಯೂ ಆಗಬಹುದು.
(ii) AB = DC = 8 cm, AD = 4 cm ಮತ್ತುBC = 4.4 cm
ಇದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮವಾಗಿಯೇ ಇರಬೇಕು. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ AD ≠ BC.
(iii) ∠A = 70° ಮತ್ತು∠C = 65°
ಇದೂ ಸಹ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ <A # <C ಆಗಿದೆ. ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಸಮವಾಗಿಯೇ ಇರಬೇಕು.
4. ಎರಡು ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿರುವ, ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಲ್ಲದ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ಕಚ್ಚಾ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:-
5. ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿಎರಡು ಪಾರ್ಶ್ವಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳು 3:2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ. ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರತಿ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
6. ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪಾರ್ಶ್ವಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿವೆ. ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರತಿ ಕೋನದ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
7. ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚಿತ್ರ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ HOPE ಆಗಿದೆ. ಕೋನಗಳಾದ x, y ಮತ್ತು z ನ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಿದ ಗುಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸಿ.
8. ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚಿತ್ರಗಳಾದ GUNS ಮತ್ತು RUNS ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಾಗಿವೆ. x ಮತ್ತು y ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಅಳತೆಗಳು ಸೆಂ.ಮೀ.ನಲ್ಲಿವೆ)
10. ಕೆಳಗಿನಚಿತ್ರಹೇಗೆತ್ರಾಪಿಜ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ? ವಿವರಿಸಿ.ಯಾವಒಂದುಜೊತೆಬಾಹುಗಳುಸಮಾಂತರವಾಗಿವೆ?(ಚಿತ್ರ. 3.26)
ಅಭ್ಯಾಸ 3.4
1. ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸರಿಯೇ, ತಪ್ಪೇ ತಿಳಿಸಿ.
(a) ಎಲ್ಲಾ ಆಯತಗಳೂ ಚೌಕಗಳಾಗಿವೆ.
(b) ಎಲ್ಲಾ ವಜ್ರಾಕೃತಿಗಳೂ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು.
(c) ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳು, ವಜ್ರಾಕೃತಿಗಳೂ ಮತ್ತು ಆಯತಗಳೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.
(d) ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳು, ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಲ್ಲ.
(e) ಎಲ್ಲಾ ಪತಂಗಗಳು ವಜ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
(f) ಎಲ್ಲಾ ವಜ್ರಾಕೃತಿಗಳೂ ಪತಂಗಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
(g) ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳೂ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಗಳಾಗುತ್ತವೆ.
(h) ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳೂ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಗಳಾಗುತ್ತವೆ.
ಪರಿಹಾರ:-
(a) ತಪ್ಪು. ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ.
(b) ಸರಿ. ಏಕೆಂದರೆ, ವಜ್ರಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ
(c) ಸರಿ. ಏಕೆಂದರೆ, ಚೌಕಗಳು ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ
(d). ತಪ್ಪು,ಏಕೆಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದೇ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
(e) ತಪ್ಪು. ಏಕೆಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪತಂಗಗಳು ಸಮಾನ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
(f) ಸರಿ. ಏಕೆಂದರೆ, ವಜ್ರಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಬಾಹುಗಳು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ
(g) ಸರಿ. ಏಕೆಂದರೆ, ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಜೊತೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
(h) ಸರಿ. ಏಕೆಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳು ಸಹ ಸಮಾನಾಂತರ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
2. ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.
(a) ಸಮವಾದ ನಾಲ್ಕು ಬಾಹುಗಳು (b) ನಾಲ್ಕು ಲಂಬಕೋನಗಳು
ಪರಿಹಾರ:-
(a) ವಜ್ರಾಕೃತಿ ಮತ್ತು ಚೌಕವು ಸಮ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
(b) ಚೌಕ ಮತ್ತು ಆಯತಗಳು ನಾಲ್ಕು ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
3. ಚೌಕವು ಯಾವಾಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಕೃತಿಯಾಗುತ್ತದೆ? ವಿವರಿಸಿ.
(i) ಚತುರ್ಭುಜ (ii) ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ (iii) ವಜ್ರಾಕೃತಿ (iv) ಆಯತ
ಪರಿಹಾರ:-
(i) ಚೌಕವು ನಾಲ್ಕು ಅಸಮ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ.ಚತುರ್ಭುಜವಾಗುತ್ತದೆ.
(ii) ಚೌಕವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎರಡೂ ಜೊತೆ ಸಮನಾದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
(iii) ಚೌಕವು ,ವಜ್ರಾಕೃತಿ ಆಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಇದು ನಾಲ್ಕು ಸಮ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ ಕರ್ಣಗಳು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ.
(iv) ಒಂದು ಚೌಕವು ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು
ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ.
4. ಕೆಳಗಿನ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.
(a) ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ. (b) ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬಾರ್ಧಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
(c) ಕರ್ಣಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಪರಿಹಾರ:-
(i) ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅರ್ಧಿಸಿದರೆ ಅದು ವಜ್ರಾಕೃತಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ, ಆಯತ ಅಥವಾ ಚೌಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
(ii) ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬಾರ್ಧಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ
ಅದು ವಜ್ರಾಕೃತಿ ಅಥವಾ ಚೌಕವಾಗಿದೆ.
(iii) ಕರ್ಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಚೌಕ ಅಥವಾ ಆಯತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
5. ಆಯತವು ಒಂದು ಬಹಿರ್ವಕ್ರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿರಲು ಕಾರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:-ಆಯತವು ಒಂದು ಬಹಿರ್ವಕ್ರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿರಲು ಕಾರಣ ಅದರ ಎರಡೂ ಕರ್ಣಗಳು ಅದರ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.
6. ABCಯುಒಂದುಲಂಬಕೋನತ್ರಿಭುಜವಾಗಿದ್ದು, ‘O’ ಬಿಂದುವು ಲಂಬಕೋನಕ್ಕೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುವಿನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ”O” ಬಿಂದುವು A,B ಮತ್ತು C ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಏಕೆ? ವಿವರಿಸಿ. (ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಚುಕ್ಕೆಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ.)
ಪರಿಹಾರ:-ಎರಡು ಲಂಬ ಕೋನ ತ್ರಿಭುಜಗಳು ಒಂದು ಆಯತವನ್ನುಂಟು ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ O ಎನ್ನುವುದು A, B, C ಮತ್ತು D ನಿಂದ ಸಮ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ.ಏಕೆಂದರೆ O ಒಂದು ಆಯತದ ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
AC ಮತ್ತು BD ಸಮಾನ ಕರ್ಣಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, O ಎಂಬುದು A, B, C ಮತ್ತು D ಯಿಂದ ಸಮ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ.