RATIONAL NUMBERSವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಅಭ್ಯಾಸ-1.1
1. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.
(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429
(i) 140=2×2×5×7=22x5x7
(ii) 156=2×2×3×13=22x3x13
(iii) 3825=3x3x5x5x17=32x52x17
(iv) 5005=5×7×11×13
(v) 7429=17×19×23
2. ಕೆಳಗೆ ನೀಡಿರುವ ಜೋಡಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ. ಮತ್ತು ಮ.ಸಾ.ಅ. ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು,
ಲ.ಸಾ.ಅ. x ಮ.ಸಾ.ಅ. = ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಎಂಬುದನ್ನು ತಾಳೆ ನೋಡಿ.
(i) 26 ಮತ್ತು 91 (ii) 510 ಮತ್ತು 92 (iii) 336 ಮತ್ತು 54.
(i) 26 and 91
26=2×13
91=7×13
ಮ.ಸಾ.ಅ =13
ಲ.ಸಾ.ಅ =2×7×13=182
ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ = 26×91=2366
ಲ.ಸಾ.ಅ. x ಮ.ಸಾ.ಅ. =13×182=2366
ಆದ್ದರಿಂದ, ಲ.ಸಾ.ಅ. x ಮ.ಸಾ.ಅ. = ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ
(ii) 510 ಮತ್ತು 92
510 and 92
510=2×3×5×17
92=2×2×23
ಮ.ಸಾ.ಅ =2
ಲ.ಸಾ.ಅ =2×2×3×5×17×23=23460
ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ = 510×92=46920
ಲ.ಸಾ.ಅ. x ಮ.ಸಾ.ಅ. =2×23460
=46920
ಆದ್ದರಿಂದ, ಲ.ಸಾ.ಅ. x ಮ.ಸಾ.ಅ. = ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ
(iii) 336 ಮತ್ತು 54.
336=2×2×2×2×3×7
336=2+x3x7
54=2×3×3×3
54=2×3³
ಮ.ಸಾ.ಅ =2×3=6
ಲ.ಸಾ.ಅ = 2 × 3 × 7 = 3024
ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ = 336×54=18144
ಲ.ಸಾ.ಅ. x ಮ.ಸಾ.ಅ. =6×3024=18144
ಆದ್ದರಿಂದ, ಲ.ಸಾ.ಅ. x ಮ.ಸಾ.ಅ. = ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ
3. ಕೆಳಗಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ. ಮತ್ತು ಮ.ಸಾ.ಅ.ಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
(i) 12, 15 ಮತ್ತು 21 (ii) 17, 23 ಮತ್ತು 29 (iii) 8, 9 ಮತ್ತು 25
(i) 12, 15 ಮತ್ತು 21
12=22×3
15=3×5
21=3×7
ಮ.ಸಾ.ಅ = 3
ಲ.ಸಾ.ಅ= 22×3×5×7=420
(ii) 17,23 ಮತ್ತು 29
17=1×17
23=1×23
29=1×29
ಮ.ಸಾ.ಅ =1
ಲ.ಸಾ.ಅ =17×23×29=11339
(iii) 8,9 ಮತ್ತು 25
8=2×2×2
9=3×3
25=5×5
ಮ.ಸಾ.ಅ = 1
ಲ.ಸಾ.ಅ =2×2×2×3×3×5×5=1800
4. (306, 657)ರ ಮ.ಸಾ.ಅ. = 9 ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ.ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಮ.ಸಾ.ಅ (306, 657) = 9
ಲ.ಸಾ.ಅ. x ಮ.ಸಾ.ಅ. = ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ
ಲ.ಸಾ.ಅ. x ಮ.ಸಾ.ಅ = 306×657
ಲ.ಸಾ.ಅ. x 9 = 306×657
ಲ.ಸಾ.ಅ=(306×657)/9
ಲ.ಸಾ.ಅ = 22338
5. n ದ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗೆ 6nಇದು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದೇ? ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ n
ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
ANS:- ಇಲ್ಲಿ nಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
6n ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬೇಕಾದರೆ ಅದು 5 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗಬೇಕು ಅಥವಾ 5 ರ ಅಪವರ್ತನ ಆಗಿರಬೇಕು ಆದರೆ 6ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಗಿವೆ
ಆದ್ದರಿಂದ 5, 6ರ ಅಪವರ್ತನ ಆಗಿಲ್ಲ
ಅಂದರೆ 6n=(2X3)n
6n ಇದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ 5 ಒಂದು ಅಪವರ್ತನ ಆಗಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ , 6n ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ
6) 7 × 11 × 13 + 13 and 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 ಇವು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಏಕೆ? ವಿವರಿಸಿ.
ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧಗಳಾಗಿವೆ – ಅವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು .
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ.
ಆದರೆ ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ಮತ್ತು ತನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದಲೂ ಸಹ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ.
7 × 11 × 13 + 13 = 13 × (7 × 11 + 1) = 13 × (77 + 1)
= 13 × 78
= 13 ×13 × 6
ಇದು 7 × 11 × 13 + 13 , 6 ಮತ್ತು 13 ಅನ್ನು ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆ .
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 = 5 ×(7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5 × (1008 + 1)
= 5 ×1009
ಇದು 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 , 5 ಮತ್ತು 1009 ಅನ್ನು ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆ .
7. ಒಂದು ಕ್ರೀಡಾಂಗಣದ ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಸೋನಿಯಾಳು ಆ ಕ್ರೀಡಾಂಗಣದ
ಒಂದು ಸುತ್ತನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು 18 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ರವಿಯು ಅದೇ
ಸುತ್ತನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು 12 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಒಂದೊಮ್ಮೆ ಅವರಿಬ್ಬರೂ
ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿAದ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಸಿ, ಏಕಮುಖವಾಗಿ ಚಲಿಸಿದರೆ, ಎಷ್ಟು ನಿಮಿಷಗಳ
ನಂತರ ಅವರು ಪುನಃ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತಾರೆ?
ಉತ್ತರ:- ಅವರು ಸಮಯಗಳ ಲ.ಸಾ. ಅದ ಬೆಲೆಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತಾರೆ .
18 = 2 × 3 × 3
ಮತ್ತು 12 = 2 × 2 × 3
12 ಮತ್ತು 18 ರ ಲ.ಸಾ. ಅ== 2 × 2 × 3 × 3 = 36
ಆದ್ದರಿಂದ 36 ನಿಮಿಷಗಳ ನಂತರ ಅವರು ಪುನಃ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಅಭ್ಯಾಸ 8.2
